Curiozitati matematice – Sofismul lui Curry sau Paradoxul disectiei triunghiului

Puzzle-ul patratului lipsa sau Paradoxul disectiei triunghiului

Puzzle-ul triunghiului sau Puzzle-ul patratului lipsa – cunoscut si sub denumirea de “Sofismul1 lui Curry” sau “Paradoxul2 disectiei triunghiului” – se refera la o iluzie optica in care, rearanjand 4 figuri geometrice, apare, in mod paradoxal, o gaura. Acest puzzle a fost inventat in 1953 de magicianul New York-ez Paul Curry si a fost discutat ulterior de renumitul matematician american Martin Gardner.

Acest puzzle al triunghiului este reprezentat prin 2 aranjamente de figuri geometrice, fiecare dintre ele formand in aparenta un triunghi dreptunghic, cu catetele de lungimi 13 si 5 unitati, dar unul dintre triunghiuri are in interior o gaura – un patrat de latura 1. Se pune intrebarea: de unde a aparut patratul lipsa? In videoclipul urmator se reprezinta modul de obtinere a acestui puzzle paradoxal:
 

Dupa cum se vede din videoclip, acest puzzle se obtine astfel: consideram un triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 13 si 5; in acest triunghi sunt incluse 2 triunghiuri dreptunghice mai mici, cu catetele de 8 si 3, respectiv 5 si 2. Aceste doua triunghiuri mai mici se pot potrivi in unghiurile ascutite ale triunghiului mare in 2 moduri; intr-unul din moduri aceste triunghiuri incadreaza un dreptunghi de dimensiuni 5 x 3 (deci de arie 15), iar in celalalt mod se obtine un dreptunghi de arie 16 (8 x 2) in interior. Paradoxul este dat de diferenta ariilor.

Solutia aparentului paradox: Este o iluzie optica!

Diferenta ariilor (adica patratul lipsa) apare deoarece niciuna din cele 2 figuri geometrice care ar trebui sa fie triunghiurile de 13 x 5 nu sunt triunghiuri, intrucat latura care ar trebui sa fie ipotenuza este de fapt o linie franta (i.e. nu este o linie dreapta, ci este formata din 2 segmente ce formeaza un unghi obtuz, si nu unul alungit – de 180 grade).

Puzzle-ul care a generat acest paradox este de fapt o iluzie optica: una din ipotenuzele celor doua triunghiuri mari este concava (“indoita” spre interior), iar cealalta convexa (“indoita” spre exterior). Diferenta de arii – care este tocmai aria patratului lipsa – provine din suma ariilor triunghiurilor ce reprezinta “abaterea de la linia dreapta” a ipotenuzei: triunghiul determinat de punctele (0,0), (8,3), (13,5) are aria 1/2, iar cel determinat de punctele (0,0), (5,2), (13,5) are aria tot 1/2; suma acestor 2 arii ale acestor abateri este 1, adica aria patratului lipsa (cu latura 1) care apare.

Desi faptul ca asa-zisele ipotenuze sunt de fapt linii frante este foarte greu de observat cu ochiul liber, iata 3 observatii simple care demonstreaza acest lucru:

  • cele 4 figuri geometrice (cea albastra, rosie, galbena si verde) au o arie totala de 32 de unitati ( (2 x 5)/2 + (3 x 8)/2 + 7 + 8 = 32 ), iar aria triunghiului mare este de 32,5 unitati ( (13 x 5)/2 ).
  • cele 2 triunghiuri dreptunghice mai mici, incluse in triunghiul dreptunghic mare, nu sunt triunghiuri asemenea, desi au catetele paralele doua cate doua, deoarece catetele lor nu sunt proportionale (5/2 diferit de 8/3); nefiind asemenea, aceste triunghiuri dreptunghice nu au unghiurile ascutite congruente, si cum catetele de jos sunt paralele, rezulta ca ipotenuzele lor au pante diferite, deci nu sunt in prelungire; asadar, “ipotenuza” mare este de fapt o linie franta.
  • in prima figura, cele 2 ipotenuze se intalnesc in coltul unui patratel, dar in cea de-a doua figura, acest punct de intalnire nu mai este pe ipotenuza triunghiului mai mare, ci este dedesubt; la fel, in figura a doua, ipotenuzele se intalnesc in coltul unui patratel, iar acest punct este in prima figura deasupra ipotenuzei mari.

Astfel, suprapunand “ipotenuzele” frante ale celor 2 mari triunghiuri dreptunghice din cele 2 figuri, se obtine un paralelogram foarte subtire, a carui arie este de fapt aria patratului lipsa care apare in a doua figura.

In videoclipul urmator este ilustrata sugestiv solutia acestui paradox:

Sirul lui Fibonacci

Paradoxul tablei de sah - prin schimbarea figurilor componente se schimba aria totala (64 -> 65)

Paradoxul tablei de sah - prin schimbarea figurilor componente se schimba aria totala (64 -> 65)

Numerele intregi ce reprezinta dimensiunile figurilor care alcatuiesc puzzle-ul (2, 3, 5, 8, 13) sunt de fapt numere Fibonacci consecutive (au proprietatea ca se obtin adunand ultimele 2 numere anterioare din sir). Pornind de la cateva proprietati simple ale Sirului lui Fibonacci, s-au obtinut multe alte puzzle-uri de disectie aparent paradoxale.


1Sofism = rationament corect in aparenta, dar fals in realitate, construit astfel in scopul de a induce in eroare.
2Paradox = enunt contradictoriu si, in acelasi timp, demonstrabil.

Bibliografie: 1, 2 Sursa foto 1: http://mattgrosso.blogspot.com/, foto 2: http://komplexify.com.

Speak Your Mind

*